Macdonald の固有値問題における有理函数解

三町勝久 (九州大学大学院数理学研究科) 述

谷口健二 (東京大学数理科学研究科) 記^{1}

Macdonald 作用素 M は

M = ∑_{1≤i≤n} ∏_{j≠i} \frac{ty_{i} − y_{j}}{y_{i} − y_{j}} T_{q,y_{i}}

で定義される。ただし

(T_{q,y_{i}}f)(y_{1},…, y_{n}) = f(y_{1},…, qy_{i},…, y_{n})

とした。「適当な」極限 q → 1 をとると、この作用素 Jack 多項式を固有函数とする微分作用素になる。この微分作用素はある対称空間に付随した Casimir 作用素と深い関係にある。

以下 0 < q < 1, t ∈ ℝ として Macdonald 作用素の固有値問題を考える。

まず天下り的に函数 Φ を定義する。変数として

x_{1}^{(0)} x_{2}^{(0)} . . . . . . x_{n}^{(0)}
x_{1}^{(1)} x_{2}^{(1)} … x_{n−1}^{(1)}
. . . . . . . . .
. . . . . .

… x_{1}^{(n)}

をとり、また y_{1} = x_{1}^{(0)},…, y_{n} = x_{n}^{(0)} とする。これらの変数を用いて次の meromorphic function を定義する。

Φ = ∏_{1≤j≤n}(x_{j}^{(0)})^{λ_{n}}

× ∏_{1≤i≤n−1} { ∏_{1≤μ≤n−i}(x_{μ}^{(i)})^{λ_{n−i}−λ_{n−i+1}}

× ∏_{1≤j≤n−i+1} \frac{(tx_{j}^{(i−1)}/x_{μ}^{(i)})_{∞}}{(x_{j}^{(i−1)}/x_{μ}^{(i)})_{∞}} ∏_{1≤μ_{1}≠μ_{2}≤n−i} \frac{(x_{μ_{1}}^{(i)}/x_{μ_{2}}^{(i)})_{∞}}{(tx_{μ_{1}}^{(i)}/x_{μ_{2}}^{(i)})_{∞}} \} .

1研究集会「表現論とその周辺」 (1996 年 11 月 5 日–11 月 8 日) 講演ノート

Typeset by AMS-TEX

ただしここで (a)_{∞} = ∏_{i≥0}(1 − aq^{i}) とした。

この式の覚え方. 上付きの添え字が等しい文字同志で作られるのが最後の項の積。上付きの添え字が１つずれた文字同志で作られるのが、最後から２番目の積。

注. これから行う議論は、変数が三角形型でなくても、列の数が下に行くにつれて単調減少ならば同様に成り立つ。

以下

\{ \begin{matrix}λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ ⋯ ≥ λ_{n},  (λ_{i} ∈ ℤ_{≥0}), \\ t = q^{k},  (k ∈ ℤ_{>0}) \end{matrix}

とする。このとき Φ が有理式になることに注意する。次に Φ を積分することを考える。

ω = ∏_{1≤i≤n−1} \frac{dx_{1}^{(i)} … dx_{n−i}^{(i)}}{x_{1}^{(i)} … x_{n−i}^{(i)}}

として (x_{1}^{(0)},…, x_{n}^{(0)} は積分しないことに注意！ )、サイクル C 上での積分

∫_{C} Φω

を考える。これは y_{1},…, y_{n} の函数であり、 C を取り換える毎に異なる M の固有函数たちが得られる。

ではそのサイクルをどうとるかというのが大切である。まず n = 2 のときを説明する。

n=2 のとき. x_{1}^{(0)} = y_{1}, x_{2}^{(0)} = y_{2}, x_{1}^{(1)} = x とすると、

Φ = (y_{1}y_{2})^{λ_{2}}x^{λ_{1}−λ_{2}} \frac{(ty_{1}/x, ty_{2}/x)_{∞}}{(y_{1}/x, y_{2}/x)_{∞}}

と表される。ただし (a_{1},…, a_{m})_{∞} := ∏_{i=1}^{m}(a_{i})_{∞} とした。 x 平面で考えると、 Φ には simple poles が 2k 個あるが、そのうち y_{1}, qy_{1},…, q^{k−1}y_{1} は親戚関係、 y_{2}, qy_{2},…, q^{k−1}y_{2} も親戚関係を成していると考えて、この親戚をくくる単純閉曲線をそれぞれ C_{1}, C_{2} とする。

すると ∫_{C_{i}} Φdx/x (i = 1, 2) （とそれらの線形結合）は M の固有函数になることがわかる。実際にこの積分を計算してみると、

\frac{1}{2πi} ∫_{C_{1}} Φ\frac{dx}{x} =y_{1}^{λ_{1}}y_{2}^{λ_{2}} \frac{(t, ty_{2}/y_{1})_{∞}}{(q, y_{2}/y_{1})_{∞}} ∑_{i≥0} \frac{(t^{−1}q, t^{−1}qy_{1}/y_{2})_{i}}{(q, qy_{1}/y_{2})_{i}} (t^{2}q^{λ_{1}−λ_{2}})^{i},

\{ \begin{matrix}(a)_{k} = ∏_{j=0}^{k−1}(1 − aq^{j}), \\ (a_{1},…, a_{m})_{k} = (a_{1})_{k}… (a_{m})_{k} \end{matrix}

となる。

定理 |_{n=2}

M ∫_{C} Φ\frac{dx}{x} = (q^{λ_{1}}t + q^{λ_{2}}) ∫_{C} Φ\frac{dx}{x}, (C = α_{1}C_{1} + α_{2}C_{2}, α_{1}, α_{2} ∈ ℂ).

この定理の証明には、特異点を超えないようにサイクルを自由に伸び縮みさせたとき、 Cauchy の定理により ∫_{T_{q,y_{i}} C} = ∫_{C} となることを使う。

Macdonald 対称多項式との関係. C = C_{1} + C_{2} とすると、

∫_{C} Φdx/x は（定数倍を除いて） Macdonald 対称多項式 P_{λ}(y_{1}, y_{2}; q, t) に一致する。積分路 C のとり方から、このときは無限遠での極の情報を拾ってきていると考えてもよい。

さて、 Macdonald 作用素の固有函数ができたわけだが、次の問題として∫_{C_{1}} と ∫_{C_{2}} は独立か？ということを考えなければならない。この問題を n が一般の場合で考えよう。 n を一般にすると Φ には見かけ上たくさんの極があるが、その構造はそれほど複雑ではない。

定理.

y_{1}  y_{2} …  y_{n−1} y_{n}
×  × …  × ×
|  | …  |
x_{1}^{(1)} · x_{2}^{(1)} · . . . x_{n−1}^{(1)} ·
|  | …
x_{1}^{(2)} · x_{2}^{(2)} · . . .
|  | …
⋮  ⋮
|  |
x_{1}^{(n−2)} · x_{2}^{(n−2)} ·
|
x_{1}^{(n−1)} ·

という図で

C_{e} = {x_{j}^{(i)} = x_{j}^{(i−1)},…, x_{j}^{(i−1)}q^{k−1} (1 ≤ j ≤ n − 1, 1 ≤ i ≤ n − j)

における residue の積み上げ}

を表すことにする。すると、左の列で積分した後は極は残りの右側の図の所だけで考えればよい。一方、 Φ は横の文字 (上付き添え字の等しい文字) の入れ替えで不変であるため、 path を入れ換えて行けば、独立な積分領域として可能性があるのは C_{w} = (wC_{e})(y_{1},…, y_{n}) (w ∈ 𝔖_{n}) が全てである。 ∫_{C_{e}} Φω の漸近挙動は

∫_{C_{e}} Φω ∼ \{ \begin{matrix}y_{1}^{λ_{1}} … y_{n}^{λ_{n}} ∏_{i=1}^{n−1} ∏_{j=1}^{n−i} \frac{(q^{λ_{j} +λ_{n+1−i}+(n−i−j)k+1})_{k−1}}{(q)_{k−1}} \\ (|y_{1}| ≫ |y_{2}| ≫ ⋯ ≫ |y_{n}|), \\ 0 (|y_{σ(1)}| ≫ |y_{σ(2)}| ≫ ⋯ ≫ |y_{σ(n)}|, σ ≠ e) \end{matrix}

であり、 C_{w} での積分では w によって決まる方向で、この式に対応する漸近挙動が得られる。また

定理 (M-Noumi).

(M − c_{λ}) ∫_{C_{w}} Φω = 0, (w ∈ 𝔖_{n}).

ただし c_{λ} = ∑_{1≤i≤n} q^{λ_{i}}t^{n−i}

なので、次の系が得られたことになる。

系. ∫_{C_{w}} Φω (w ∈ 𝔖_{n}) は Macdonald 作用素の n! 個の線型独立な固有函数を与える。

注. 一般には解空間の次元が n! で押さえられるかどうかはわかっていない。微分作用素のとき (q = 1 のとき)、つまり Jack 多項式が出てくるときには上の系を

「∫_{C_{w}} Φω (w ∈ 𝔖_{n}) は n! 次元の解空間の基底をなす」

とすっきり述べられる。

注１. Macdonald 対称多項式は

P_{λ}(y; q, t) = const. ∫_{∑_{w∈𝔖n} C_{w}} Φω

と表される。これは Weyl の指標公式の一種の一般化になっている。

注２. 注１で述べたことをもう少し詳しく見てみよう。 P_{λ}(y; q, q^{k}) ⟶^{k=1} s_{λ} (Schur 函数) であることをまず注意しておく。 n = 3 のとき、

Res_{x{(2) \atop 1}=x{(1) \atop 1} ; {x{(1) \atop 1}=y_{1} \atop x{(1) \atop 2}=y_{2}}} Φω = \frac{y_{1}^{λ_{1}}y_{2}^{λ_{2}}y_{3}^{λ_{3}}}{(y_{2}/y_{1}, y_{3}/y_{1}, y_{3}/y_{2})_{1}} = \frac{y_{1}^{λ_{1}+2}y_{2}^{λ_{2}+1}y_{3}^{λ_{3}}}{∏_{1≤i<j≤3}(y_{i} − y_{j})}(↔ C_{e})

である。よって

∑_{σ∈𝔖_{3}} σRes_{∗}Φω = \frac{∑_{σ∈𝔖_{3}} sgn(σ)y_{σ(1)}^{λ_{1}+2}y_{σ(2)}^{λ_{2}+1}y_{σ(3)}^{λ_{3}}}{∏_{1≤i<j≤3}(y_{i} − y_{j})}

が成り立つ。

今日の話は A_{n−1}-型の場合であったが、 B-型 etc についてはまだよくわかっていない。

注. λ = (λ_{1},…, λ_{n}) が整数であることは今日の話には効いていない。より一般の λ （たとえば複素数）にすると積分のサイクルの所に効いてくる。ただし、函数の多価性は原点に現れ、留数をとるところには効いてこない。また λ_{1} ⪇ λ_{2} などとしたときは、 Jackson 積分をとる。このときには本当の級数が現れる。

注. k が整数でないとサイクルの構造は複雑になる。

これから残りはおまけです.

今日の話の動機、 QKZ 方程式との関係について説明する。おまけなので A_{1}-型のときのみを話す。

記号.

⟨ϕ⟩ := ∫_{C} Φ\frac{dx}{x}, (C = α_{1}C_{1} + α_{2}C_{2}),

ϕ_{1} := \frac{1}{1 − ty_{2}/x}, ϕ_{2} := \frac{1 − y_{2}/x}{(1 − ty_{1}/x)(1 − ty_{2}/x)}

とする。ある意味で ϕ_{1} は e (∈ 𝔖_{2}) と、 ϕ_{2} は互換 (1, 2) (∈ 𝔖_{2}) とそれぞれ対応している。

このとき ⟨ϕ_{1}⟩ と ⟨ϕ_{2}⟩ は y_{1}, y_{2} の函数である。これらへの T_{q,y_{1}}, T_{q,y_{2}} の作用を書くと (∗)

\{ \begin{matrix}T_{q,y_{1}} ( \begin{matrix}⟨ϕ_{1}⟩ \\ ⟨ϕ_{2}⟩ \end{matrix} ) (y_{1}, y_{2}) = ( \begin{matrix}q^{λ_{2}} & 0 \\ 0 & q^{λ_{1}} \end{matrix} ) R(y_{1}, y_{2}) ( \begin{matrix}⟨ϕ_{1}⟩ \\ ⟨ϕ_{2}⟩ \end{matrix} ) (y_{1}, y_{2}), \\ T_{q,y_{2}} ( \begin{matrix}⟨ϕ_{1}⟩ \\ ⟨ϕ_{2}⟩ \end{matrix} ) (y_{1}, y_{2}) = R(y_{1}, qy_{2})^{−1} ( \begin{matrix}q^{λ_{1}} & 0 \\ 0 & q^{λ_{2}} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}⟨ϕ_{1}⟩ \\ ⟨ϕ_{2}⟩ \end{matrix} ) (y_{1}, y_{2}) \end{matrix}

となる。ただし z = y_{1}/y_{2} として

R(y_{1}, y_{2}) = \frac{1}{1 − tz} ( \begin{matrix}1 − z & z(1 − t) \\ 1 − t & t(1 − z) \end{matrix} )

とした。 (∗) は A_{1}-型 QKZ(=Quantum Knizhnik-Zamolodchikov) 方程式である。 QKZ 方程式 (∗) に行列 (1, t) を左から掛けて重みを付けて足し上げることによりこれをスカラー化すると

\{\frac{1 − tz}{1 − z} T_{q,y_{1}} + \frac{t − z}{1 − z} T_{q,y_{2}} − (q^{λ_{1}}t + q^{λ_{2}})\} ( 1 t) ( \begin{matrix}⟨ϕ_{1}⟩ \\ ⟨ϕ_{2}⟩ \end{matrix} ) = 0

となる。ここで

( 1 t) ( \begin{matrix}⟨ϕ_{1}⟩ \\ ⟨ϕ_{2}⟩ \end{matrix} ) = ⟨ϕ_{1} + tϕ_{2}⟩ = \frac{1 − q^{λ_{1}−λ_{2}}t^{2}}{1 − t} ⟨1⟩

であり、 ⟨1⟩ は今日の話にでてきた積分による固有函数である。この現象は一般の A_{n−1}-型の場合に拡張でき、

⟨ ∑_{w∈𝔖_{n}} t^{l(w)}ϕ_{w}⟩ = const.⟨1⟩

が成り立つ。この ϕ_{w} は、 A_{1}-型の場合には、 ϕ_{1} = ϕ_{e}, ϕ_{2} = ϕ_{(1,2)} である。

References

[Mac1] Macdonald, I.G., A new class of symmetric functions, Actes Séminaire Lotharingen, Publ. Inst. Rech. Math. Adv., Strasbourg, 1988, pp. 131-171.

[Mac2] Macdonald, I.G., Symmetric Functions and Hall Polynomials (Second Edition), Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, Oxford, 1995.

[Mi1] Mimachi, K., A solution to quantum Knizhnik-Zamolodchikov equations and its application to eigenvalue problems of the Macdonald type, Duke Math. J. (to appear in December,1996).

[Mi2] Mimachi, K., Rational solutions to eigenvalue problems of the Macdonald type, in preparation.

[MN] Mimachi, K.and Noumi, M., An integral representation of eigenfunctions for Macdonald’s q-difference operators, Tohoku Math. J. (to appear).