Harish-Chandra homomorphism of U(𝔤𝔩_{n})

落合啓之 (立教大学理学部) 述

谷口健二 (東京大学数理科学研究科) 記^{1}

§1 導入

𝔤 を reductive Lie 環とし、 𝔥, W でそれぞれその Cartan 部分環と Weyl 群を表す。たとえば 𝔤 = 𝔤𝔩_{n} = M(n, ℂ), 𝔥 = {diagonal matrices} ⊂ 𝔤, W = 𝔖_{n} を考えて頂ければよい。また 𝔤 の普遍包絡環を U(𝔤) とし、 U(𝔤) の中心を Z(𝔤) で表す。

Theorem(Harish-Chandra homomorphism).

Z(𝔤) ⟶^{∼} U(𝔥)^{W}

なる algebra の同型写像が存在する。

ここで今日の話の主題をまず説明しておく。

E_{ij} = (δ_{ik}δ_{jl})_{kl} ∈ 𝔤𝔩_{n} ⊂ U(𝔤𝔩_{n}) として 𝔼 = (E_{ij}) ∈ M(n, U(𝔤𝔩_{n})) とすると、任意の m に対して tr(𝔼^{m}) は Z(𝔤𝔩_{n}) の元であるが、これの Harish-Chandra homomorphism による像を具体的に書き下す、という問題を考えるのである。

参考文献

(1) Zelobenko, “Compact Lie groups and their applications”, 1970, §60,

(2) Maass, “Siegel’s modular forms and Dirichlet series”, 1971, SLNM

216, §6. Zelobenko は m についての帰納法で、また Maass は n についての帰納法 (parabolic induction) で、それぞれ上記の問題を考察している。

なお問題設定の所で 𝔤 = 𝔤𝔩_{n} としたが、 𝔤 として古典型複素単純 Lie 環で考えてもこれからの話はうまく運ぶ。それ以外でも重複度が１以下であるような表現を使えば「原理的には」うまくいくことに注意しておく。

また、これと似た問題で、 Capelli element det_{⟶}(E_{ij} + δ_{ij}(n − i)) の

Harish-Chandra homomorphism による像を決める、という問題も考えられるが、こちらの問題の方は、ずっと易しい。

1研究集会「表現論とその周辺」 (1996 年 11 月 5 日–11 月 8 日) 講演ノート

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§2 Harish-Chandra homomorphism の定義の復習

では本題に入る。まず

\{ \begin{matrix}𝔤 = 𝔫_{−} ⊕ 𝔥 ⊕ 𝔫_{+} & (三角分解), \\ 𝔟 = 𝔥 ⊕ 𝔫_{+} & (Borel subalgebra) \end{matrix}

とする。このとき Poincaré-Birkhoff-Witt の定理により、

(1)  U(𝔤) = 𝔫_{−}U(𝔤) ⊕ U(𝔟),
(2)  U(𝔟) = U(𝔟)𝔫_{+} ⊕ U(𝔥),
(3)  U(𝔤) = (𝔫_{−}U(𝔤) + U(𝔤)𝔫_{+}) ⊕ U(𝔥)

が成り立つ。すると

U(𝔤) ⟶^{π} U(𝔟)
↘_{γ} ↓
U(𝔥)

なる可換図式ができるが、 π, γ と (2) を用いた U(𝔟) から U(𝔥) への射影はすべて 𝔥-homomorphism である。

Lemma.

U(𝔤)^{𝔥} := {X ∈ U(𝔤); HX = XH(for any H ∈ 𝔥)}

とおくと、これは U(𝔤) の部分環であり、次の性質を満たす。 (1) X ∈ U(𝔤)^{𝔥} ならば π(X) ∈ U(𝔥) である。

(2) γ|_{U(𝔤)^{𝔥}} と π|_{U(𝔤)^{𝔥}} は algebra homomorphism である。

(3) Z(𝔤) = U(𝔤)^{𝔤} ⊂ U(𝔤)^{𝔥} であり、 γ|_{Z(𝔤)} は algebra homomorphism である。

次にいわゆる rho-shift を定める。 𝔥 の双対空間 𝔥^{∗} の元 ρ を

ρ(H) = \frac{1}{2}tr_{𝔫_{+}}ad(H) (H ∈ 𝔥)

で定め、 U(𝔥) から U(𝔥) への algebra 同型 T_{−ρ} を

T_{−ρ} : U(𝔥) ⊃ 𝔥 ∋ H ↦ H − ρ(H) ∈ U(𝔥)

で定める。この rho-shift を先ほどの γ と合成することによって

γ̄ = T_{−ρ} ∘ γ : U(𝔤) ⟶ U(𝔥)

と定義する。このとき、特に Z(𝔤) に制限すれば、

γ̄ = T_{−ρ} ∘ γ : Z(𝔤) ⟶^{∼} U(𝔥)^{W}

という algebra 同型を与えることに注意しておこう。なお、これは 𝔫_{+} のとり方によらない。

γ̄ の別の定義.

H · 1_{λ−ρ} = (λ − ρ)(H)1_{λ−ρ} (H ∈ 𝔥),
X · 1_{λ−ρ} = 0 (X ∈ 𝔫_{+})

で定義される 𝔟-加群を ℂ_{λ−ρ} = ℂ1_{λ−ρ} で表し、 highest weight が λ − ρ ∈ 𝔥^{∗} である Verma 加群を M(λ) := U(𝔤) ⊗_{U(𝔟)} ℂ_{λ−ρ} で定義する。 generic な λ に対しては M(λ) は既約で、よって Verma 加群は無限小指標を持つ。即ち、

Fact. 任意の z ∈ Z(𝔤) に対して χ_{λ}(z) ∈ ℂ があって、 z · v = χ_{λ}(z)v が任意の v ∈ M(λ) に対して成り立つ。この χ_{λ} は Z(𝔤) から ℂ への algebra homomorphism であり、

Z(𝔤) ⟶^{∼}^{γ̄} U(𝔥)^{W} ⟶^{evaluation at λ} ℂ

の合成に等しい。

§3 Zelobenko の計算.

以下、 𝔤 = 𝔤𝔩_{n} の場合を考える。冒頭で述べたように、 E_{ij} = (δ_{ik}δ_{jl})_{kl} ∈ 𝔤𝔩_{n} ⊂ U(𝔤𝔩_{n}) として 𝔼 = (E_{ij})_{ij} ∈ M(n, U(𝔤𝔩_{n})) とする。すると

tr(𝔼^{m}) = ∑_{i_{1},i_{2},...,i_{m}=1}^{n} E_{i_{1}i_{2}}E_{i_{2}i_{3}} … E_{i_{m−1}i_{m}}E_{i_{m}i_{1}} ∈ U(𝔤)

である。まず tr(𝔼^{m}) が Z(𝔤) の元であることを示す。

Lemma. g ∈ GL(n) に対し、 𝔼^{(g)} := (Ad(g)E_{ij}) とおくと、 tr(𝔼^{m}) = tr((𝔼^{(g)})^{m}) が成り立つ。

Proof. 𝔼^{(g)} = ^{t}g𝔼^{t}g^{−1} より、 (𝔼^{(g)})^{m} = ^{t}g𝔼^{m}^{t}g^{−1} が成り立つから。 □

ここで記法を間違えないために、 rho-shift

T_{−ρ} : E_{ii} ↦ E_{ii} + i − \frac{n + 1}{2}

を、いろいろな計算をした後、 E_{ii} = s_{i} + i − (n + 1)/2 で置き換えることと思うことにする。つまり、 rho-shift で置き換えた後の E_{ii} をもとの E_{ii} と間違えないように s_{i} という違う記号で表すのである。こうすると

γ̄ : Z(𝔤) ⟶^{∼} ℂ[s_{1},…, s_{n}]^{𝔖_{n}}

と書ける。 Proposition.

π((𝔼^{m+1})_{ij}) = \{ \begin{matrix}∑_{k=1}^{j} π((𝔼^{m})_{ik})E_{kj} + (n − j)π((𝔼^{m})_{ij}) & (i < j), \\ 0 & (i > j), \end{matrix} (1)

π((𝔼^{m+1})_{ii}) = π((𝔼^{m})_{ii})(E_{ii} + n − i) − ∑_{k=i+1}^{n} π((𝔼^{m})_{kk}). (2)

Corollary.

γ̄((𝔼^{m+1})_{ii}) = γ̄((𝔼^{m})_{ii})(s_{i} + (n − 1)/2) − ∑_{k=i+1}^{n} γ̄((𝔼^{m})_{kk}).

これでもとの問題の答を導き出す所まで来た。ただ、 tr(𝔼^{m}) の γ̄ による像を一つ一つ書き下すと、あまりきれいな式にはならないので、ここでは母関数を用いた書き方をする。前の Corollary の行列を対角化して m 乗を計算すれば、漸化式から一般項を得る。つまり次の知りたかった結果が得られる。

もとの問題の解答. z を形式的な変数として、以下の式が成り立つ。

∑_{m=0}^{∞} z^{m+1}γ̄((𝔼^{m})_{ii}) = ∏_{k=i+1}^{n} \frac{1 − (s_{k} + (n − 1)/2 + 1)z}{1 − (s_{k} + (n − 1)/2)z}

− ∏_{k=i}^{n} \frac{1 − (s_{k} + (n − 1)/2 + 1)z}{1 − (s_{k} + (n − 1)/2)z} ,

1 − ∑_{m=0}^{∞} z^{m+1}γ̄(tr𝔼^{m}) = ∏_{k=1}^{n} \frac{1 − (s_{k} + (n − 1)/2 + 1)z}{1 − (s_{k} + (n − 1)/2)z}
∈ ℂ[s_{1},…, s_{n}]^{𝔖_{n}}[[z]].

Remark. 上の式は α ∈ ℂ に対する恒等式

1 − ∑_{m=0}^{∞} z^{m+1}α^{m} = 1 − \frac{z}{1 − αz} = \frac{1 − (α + 1)z}{1 − αz}

の類似と見ることもできる。 Examples.

γ̄(tr𝔼^{2}) = ∑_{i=1}^{n} s_{i}^{2} − \frac{n(n^{2} − 1)}{12},

γ̄(tr𝔼^{3}) = γ̄( ∑_{i,j,k=1}^{n} E_{ij}E_{jk}E_{ki})

= ∑_{i=1}^{n} s_{i}^{3} + \frac{n}{2} ∑_{i=1}^{n} s_{i}^{2} − \frac{1}{2}(∑_{i=1}^{n} s_{i})^{2} − \frac{n^{2} − 1}{4} ∑_{i=1}^{n} s_{i} − \frac{n^{2}(n^{2} − 1)}{24}.

以上が Zelobenko の方法による問題の解である。

§4 Maass の計算.

次に Maass の方法で同じ問題を考えてみよう。

Ω = {Y ∈ Sym(n, ℂ); det Y ≠ 0} ≃ GL(n, ℂ)/O(n, ℂ)

とすると、 g ∈ GL(n) に対してΩ ∋ Y ↦ gY^{t}g ∈ Ω とすることで GL(n) は Ω に作用する。ここで Ω の座標を

Y = (y_{ij}) = ( \begin{matrix}y_{11} & y_{12} & … & y_{1n} \\ y_{12} & & & · \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ y_{1n} & · & … & y_{nn} \end{matrix} )

で入れる。一般に、対称空間が平らな空間に埋め込まれるときには計算がうまくいくことが多い、ということが最近認識されるようになった。 Maass はそれを（恐らく無意識のうちに）やっている。

次に n × n-行列 ∂_{Y} を

(i, j) 成分 = \{ \begin{matrix}2∂/∂y_{ii} & (i = j), \\ ∂/∂y_{ij} & (i ≠ j) \end{matrix}

となるものとする。つまり

∂_{Y} = ( \begin{matrix}2∂/∂y_{11} & ∂/∂y_{12} & … & · \\ ∂/∂y_{12} & 2∂/∂y_{22} & & · \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ · & · & … & 2∂/∂y_{nn} \end{matrix} )

とする。すると tr((Y ∂_{Y})^{m}) は GL(n)-不変な Sym(n) 上の微分作用素である。よって Z(𝔤) の元と考えてよく、（見かけは先ほどと違うが）この微分作用素に対しても Harish-Chandra homomorphism γ̄ が定義できる。問題. γ̄(tr(Y ∂_{Y})^{m}) を求めよ。

ここでは行列の size についての帰納法を行う。 0 < r < n とし、 Ω の稠密開部分集合

Sym(n) ⊃ Ω ⊃

\{( \begin{matrix}I_{r} & 0 \\ X & I_{n−r} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}V & 0 \\ 0 & W \end{matrix} ) ( \begin{matrix}I_{r} & ^{t}X \\ 0 & I_{n−r} \end{matrix} );

V ∈ Sym(r), W ∈ Sym(n − r), det V ≠ 0, det W ≠ 0, X ∈ M(n − r, r)}

を考える。

Proposition. この X, V, W という変数を Ω （の稠密開部分集合上の）座標として用いて Y ∈ Sym(n) を表すと

(Y ∂_{Y})^{m} ≡ ( \begin{matrix}C_{m} & 0 \\ XC_{m} − (W ∂_{W})^{m}X & (W ∂_{W})^{m} \end{matrix} )
mod(∂/∂x_{ij} で生成される左イデアル)

が成り立つ。ただし C_{m+1} = (V ∂_{V} + n − r)C_{m} − tr(W ∂_{W})^{m}I_{r} とした。

この C_{m} についての漸化式を解くと

C_{m} = (V ∂_{V} + (n − r)I_{r})^{m} − ∑_{j=0}^{m−1}(V ∂_{V} + (n − r)I_{r})^{j}tr(W ∂_{W})^{m−1−j}

であるので、結局

tr(Y ∂_{Y})^{m} =tr(V ∂_{V} + (n − r)I_{r})^{m} + tr(W ∂_{W})^{m}

− ∑_{j=0}^{m−1} tr(V ∂_{V} + (n − r)I_{r})^{j}tr(W ∂_{W})^{m−1−j}

となる。この式は V と W について対称にはなっていないが、それは rho-shift の分だけずれているからである。 −ρ = (−(n − 1)/2, −(n − 3)/2,…, (n−1)/2) であるから、 Harish-Chandra homomorphism の像は

γ̄_{n}(tr(Y ∂_{Y})^{m})
=γ̄_{r}(tr(V ∂_{V} + \frac{n − r}{2} I_{r})^{m}) + γ̄_{n−r}(tr(W ∂_{W} + \frac{r}{2}I_{n−r})^{m})

− ∑_{j=0}^{m−1} γ̄_{r}(tr(V ∂_{V} + \frac{n − r}{2} I_{r})^{j})γ̄_{n−r}(tr(W ∂_{W} + \frac{r}{2}I_{n−r})^{m−1−j})

となる。これを母関数を用いて表せば、

1− ∑_{m=0}^{∞} z^{m+1}γ̄_{n}(tr(Y ∂_{Y} − \frac{n}{2}I_{n})^{m})
= \{1 − ∑_{m=0}^{∞} z^{m+1}γ̄_{r}(tr(V ∂_{V} − \frac{r}{2}I_{r})^{m})\}

× \{1 − ∑_{m=0}^{∞} z^{m+1}γ̄_{n−r}(tr(W ∂_{W} − \frac{n − r}{2} I_{n−r})^{m})\}

= ∏_{k=1}^{n} \frac{1 − (s_{k} − 1/2 + 1)z}{1 − (s_{k} − 1/2)z}

となる。ゆえに

1− ∑_{m=0}^{∞} z^{m+1}γ̄_{n}(tr(Y ∂_{Y})^{m})

= ∏_{k=1}^{n} \frac{1 − (s_{k} + (n − 1)/2 + 1)z}{1 − (s_{k} + (n − 1)/2)z}

として Zelobenko と同じ結果を得る。