第 2 種の球関数とモジュラー多様体のモジュラー的因子のグリーン関数

\begin{matrix}織田孝幸 (東大数理) \\ 吉永徹美 (京大理) 記^{∗} \end{matrix}

1. Green currents

X を滑らかな複素射影多様体とし, A^{p,q}(X) を X 上の (p, q)-型の C^{∞}- 微分形式のなす空間とする. また, A^{p,q}(X) の双対空間を D_{p,q}(X) と書く. ここで, current を次のように定義する.

定義 1 ((p, q)-型の current). X の ℂ 上の次元を d_{X} として,

D^{p,q}(X) = D_{d_{X}−p,d_{X}−q}(X)

とおく. ここで, D^{p,q}(X) の元を X 上の (p, q)-型の current という.

このとき, A^{p,q}(X) から D^{p,q}(X) への自然な写像 A^{p,q}(X) ∋ ω ⟼ [ω] ∈ D^{p,q}(X) が

[ω]α = ∫_{X} ω ∧ α (α ∈ A^{d_{X}−p,d_{X}−q}(X))

によって定義される.

次に, Y を X の余次元 p の解析的部分 (代数) 多様体 (analytic subvariety) とし, δ_{Y} を Y 上での積分, すなわち, δ_{Y} (α) = ∫_{Y^{ns}} ι^{∗}α (α ∈ A^{d_{X}−p,d_{X}−p}(X)) で与えられる (p, p)-型の current とする. ただし, ι : Y ⟶ X は包含写像で, Y^{ns} は Y の non-singular locus である. さらに, X 上の正則微分 ∂ と反正則微分 ¯∂ に対して, d = ∂ + ¯∂, d^{c} = (4π\sqrt{−1} )^{−1}(∂ − ¯∂) とおく.

∗研究集会「表現論とその周辺」 (1996 年 11 月 5 日–11 月 8 日) 講演ノート

定義 2 (Green currents). (p − 1, p − 1)-型の current g が Y の Green current であるとは, X 上の適当な (p, p)-型の C^{∞}-微分形式 ω に対して

dd^{c} g + δ_{Y} = [ω]

が成り立つことをいう.

例 (divisor に対する Green current). Y は X の余次元 1 の divisor で, ample なものとする. ここで, X 上の metric || · || を持つ Hermitian line bundle L と, L の切断 s ∈ Γ(X, L) で Y = {x ∈ X | s(x) = 0} となるものについて g = − log ||s||^{2} とおく. この関数 ((0, 0)-型の current とみる) について, Lelong の定理によって

dd^{c} g + δ_{Y} = [c_{1}(L, || · ||)]

(ただし, c_{1}(L, || · ||) は Chern form) が成り立つ. したがって, この g は Y の Green current である.

以下, 今の g のような, 関数によって与えられる Green current については Green current という代わりに Green 関数ということもある.

ここで定義された Green current を X がモジュラー多様体 Γ\D で, Y がその部分多様体 Γ′\D′ である場合について考える. ただし, D は Hermite 型対称領域, D′ は D の正則部分領域である. また, Γ, Γ′ は, それぞれ Lie 群 G, G′ の離散部分群で, G, G′ は D, D′ の各々に作用しているものとする.

このとき,

\begin{matrix}G′ & ↷ & D′ & ⟶ & D & ↶ & G \\ ∪ & & & & & & ∪ \\ Γ′ & & & & & & Γ \end{matrix}

· Y の Greeen current g_{Y} をモジュラー形式あるいは保形形式として構成する

という問題が考えられる. (これは Y の余次元が大きい場合には難しい. )

次節では, D, D′ がそれぞれ n 次元, n − 1 次元の複素超球, G = SU(n, 1), G′ = S(U(1) × U(n − 1, 1)) という場合について考える.

注意. dd^{c} または ∂ ¯∂ は Laplacian ではないが, ここから先では Laplacian を扱う. この理由は一口では説明しにくいので, ここでは書かない.

2. 複素超球の幾何

ここでは, 領域 D として n 次元複素超球 D^{n} = {(z_{1}, z_{2},…, z_{n}) ∈ ℂ^{n} | ∑_{i} |z_{i}|^{2} < 1} をとる. また, G = SU(n, 1), K = S(U(n) × U(1)) (G の極大コンパクト部分群) とおく. このとき D^{n} ≃ G/K である. G の D への作用は一次分数変換による. D には G-不変な Kähler 計量

ds^{2} = \frac{∑_{i=1}^{n} |dz_{i}|^{2}}{1 − ∑_{i=1}^{n} |z_{i}|^{2}} + \frac{∑_{i,j} z_{i}\overline{z_{j}} dz_{i} \overline{dz_{j}}}{(1 − ∑_{i=1}^{n} |z_{i}|^{2})^{2}}

が存在することに注意する.

D^{n−1} は,

D^{n−1} = {(z_{1}, z_{2},…, z_{n}) ∈ D^{n} | z_{1} = 0}

とみることによって, D^{n} に埋めこまれ, S(U(1) × U(n − 1, 1))(⊃ G) は D^{n−1} を不変にする. さらに, (l_{1},…, l_{n}, l_{0}) ∈ ℂ^{n+1} \ {0} に対し, その “長さ” Φ(l) を

Φ(l) = ∑_{i=1}^{n} |l_{i}|^{2} − |l_{0}|^{2}

で与える. ここで, Φ(l) > 0 であるような l に対して, G における l の固定部分群を H_{l} とし, D^{n} の部分集合 D_{l}^{n−1} を

D_{l}^{n−1} = {(z_{1}, z_{2},…, z_{n}) ∈ D^{n} | ∑_{i=1}^{n} l_{i}z_{i} + l_{0} = 0}

で定める. このとき,

H_{l} ≃ S(U(1) × U(n − 1, 1)), D_{l}^{n−1} ≃ D^{n−1}

である. H_{l} は D_{l}^{n−1} を不変にしている. また, D^{n} の点 z に対し, z と D_{l}^{n−1} との距離を d(z, l) と書くと, d(z, l) は

d(z, l) = sinh^{−1} (\frac{| ∑_{i=1}^{n} l_{i}z_{i} + l_{0}|}{\sqrt{1 − ∑_{i=1}^{n} |z_{i}|^{2}} \sqrt{Φ(l)}} )

で与えられる.

次に, D の Laplacian を L と書くと, L は

L = (1 − ∑_{i=1}^{n} |z_{i}|^{2}) (∑_{i=1}^{n} \frac{∂^{2}}{∂z_{i}∂\overline{z_{i}}} − ∑_{i,j} z_{i}\overline{z_{j}} \frac{∂^{2}}{∂z_{i}∂\overline{z_{j}}} )

で与えられる. ここで, D_{l}^{n−1} の Green 関数 g_{s}(z, l) がみたすべき性質として次の (a)–(e) を考える.

(a) g_{s}(g·z, g·l) = g_{s}(z, l) (∀g ∈ G, ∀z ∈ D^{n}, ∀l ∈ ℂ \ {0})

(b) g_{s} は, z ∉ D_{l}^{n−1} であるところでは C^{∞}-級.

(c) z が D_{l}^{n−1} に近づくときの g_{s} のオーダーは, g_{s}(z, l) = log(d(z, l))+ O(1).

(d) Lg_{s}(z, l) + (s^{2} − n^{2})g_{s}(z, l) = 0 (∀z ∈ D_{l}^{n−1})

(e) z が ∂D に近づくとき, |g_{s}(z, l)| の大きさは (以上の条件の下で) なるべく小さくなるようにする.

命題 1. 上記の (a)–(e) をみたすような関数 g_{s} は (一意に決まり) 次で与えられる.

g_{s}(z, l) = φ(d(z, l), s)
φ(t, s) = (2 cosh t)^{−s−n}_{2}F_{1}(\frac{1}{2}(s + n), \frac{1}{2}(s − n + 2), \frac{1}{2}(s + 1); (cosh t)^{−2})

ここで, _{2}F_{1} は Gauss の超幾何関数である.

(略証) (a) から g_{s}(z, l) は φ(d(z, l), s) という形であることが導かれる. この φ(t, s) について, (d) から (s を固定したとき) 次の微分方程式が得られる.

\frac{d^{2}}{dt^{2}} φ(t, s) + [coth t + (2n − 1) tanh t] \frac{d}{dt}φ(t, s) = (s^{2} − n^{2})φ(t, s)

この方程式には次の 2 個の線形独立な解 φ_{1}, φ_{2} がある.

φ_{1}(t, s) = _{2}F_{1}(\frac{1}{2}(n + s), \frac{1}{2}(n − s), 1; −(sinh t)^{2})
φ_{2}(t, s) = (2 cosh t)^{−s−n}_{2}F_{1}(\frac{1}{2}(s + n), \frac{1}{2}(s − n + 2), \frac{1}{2}(s + 1); (cosh t)^{−2})

これらについて, t が 0 に近づくときのオーダーを評価すると, φ = φ_{2} となることが示される. (証終)

3. Poincaré 級数 G_{s}( z, l)

Γ を G の離散部分群で, Γ\G の体積 vol(Γ\G) が有限であるようなものとする. このとき, “Poincaré 級数” G_{s}(z, l) は

G_{s}(z, l) = ∑_{γ∈Γ∩H_{l}\Γ} g_{s}(γ·z, l)

で定義される. まず, この和の収束性に関しては次のことが成り立つ.

命題 2. vol(Γ ∩ H_{l}\H_{l}) は有限であると仮定する. このとき, Re s > n ならば G_{s}(z, l) は絶対収束する.

(略証) (Godement’s idea)

∫_{Γ\D} ∑_{γ∈Γ∩H_{l}\Γ} |g_{s}(γ·z, l)| dz

= ∫_{Γ∩H_{l}\D} |g_{s}(γ·z, l)| dz
= ∫_{Γ∩H_{l}\H_{l}} dh ∫_{H_{l}\G/K} |g_{s}(ẋ, l)|dẋ
= vol(Γ ∩ H_{l}\H_{l}) ∫_{0}^{∞} |φ_{2}(t, s)|e^{2nt}dt

で, t → ∞ のとき |φ_{2}(t, s)|e^{2nt} ∼ exp((− Re s + n)t) であるから, 上の積分の値は有限になる. (証終)

ここで, Re s > n のとき G_{s}(z, l) ∈ L^{1}(Γ\G/K) であるが, (z が H_{l} に近づくときに) log オーダーの特異性しか持たないので, G_{s}(z, l) ∈ L^{2}(Γ\G/K) でもある. そこで, L^{2}(Γ\G/K) の離散スペクトルおよび連続スペクトルへの分解

L^{2}(Γ\G/K) = L^{2}(Γ\G/K)_{d} ⊕ L^{2}(Γ\G/K)_{c}

に応じて G_{s}(z, l) = G_{s}(z, l)_{d} + G_{s}(z, l)_{c} と分解する. 次に, 正数 T と (十分滑らかな) 関数 φ : [0, ∞) → [0, 1] で

φ(x) = \{ \begin{matrix}1 & if x < T \\ 0 & if x > T \end{matrix}

であるようなものに対して,

G_{s}^{T,φ}(z, l) = ∑_{γ∈Γ∩H_{l}\Γ} φ(log(d(z, l)))g_{s}(z, l)

とおく. さらに, 関数 Ǧ_{s}(z, l) を

Ǧ_{s}(z, l) = {L + (s^{2} − n^{2})} G_{s}^{T,φ}(z, l)

(L は Laplacian) で与える. これらの関数についても G_{s} と同様に

G_{s}^{T,φ}(z, l) = G_{s}^{T,φ}(z, l)_{d} + G_{s}^{T,φ}(z, l)_{c}
Ǧ_{s}(z, l) = Ǧ_{s}(z, l)_{d} + Ǧ_{s}(z, l)_{c}

と分解する. このとき, (a) T ≫ 0 のとき, G_{s}(z, l) − G_{s}^{T,φ}(z, l) は有限和である.

(b) Ǧ_{s}(z, l)_{d} は s の整関数である.

(c) G_{s}^{T,φ}(z, l)_{d} は s の有理形関数である. ということが示される. これらのことと, G_{s}^{T,φ}(z, l)_{c}, Ǧ_{s}(z, l)_{c} を具体的に計算した結果を用いると次の結果が得られる. 定理. G_{s}^{T,φ}(z, l), G_{s}(z, l) は, 全 s-平面に有理形関数として拡張される. さらに次の予想がある. 予想.

(i) G_{s}(z, l) は s = n に 1 位の極を持つ. (ii) 留数 Res_{s=n} G_{s}(z, l) は定数で, その定数を κ と書くと, s → n のとき G_{s}(z, l) = \frac{κ}{s−n} + O(1). この (i) については, 実際には高々 2 位の極を持つことがわかっている. また, 次のような問題も残っている.

· G_{s}(z, l) の Fourier 展開

· G_{s}(z, l) の twisted version の考察 · 個々の点 z における G_{s}(z, l) の評価

この種の関数を考えることは, 保型形式の新しい問題を提起し, 算術的交差理論の興味深い応用に導くと思われる.

参考文献

[1] S. S. Chern and L. Greenberg, Hyperbolic Spaces, in “Contributions to Analysis” pp.49–87, Academic Press New York-London, 1974.

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[4] T. H. Koornwinder, Jacobi functions and analysys on non-compact semisimple Lie groups, in “Special Functions: Group Theoritical Aspects and Applications” pp.1–85.

[5] N. N. Lebedev, Special Functions and Their Applications, tranlated by R. A. Silverman, Dover Publ. Inc. New York, 1922.

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