CHEBOTAREV EQUIDISTRIBUTION THEOREM FOR HOLONOMY

若山正人 (九大数理) 述石川哲 (東大数理科学) 記^{1}

1. Introduction.

次の Chebotarev の密度定理は素数定理， Dirichlet の算術級数定理の精密化といえる．

定理 1. Chebotarev の密度定理 (Math. Ann. 95, 1926).

k を代数体， K/k をガロア拡大， G をガロア群， C を G のある共役類とする． M(C) = {𝔭 : kの素イデアル| 𝔭 の素因子である Kの素イデアルβのフロベニウス置換

が Cに属する． } このとき、 M(C) の密度，

lim_{s→1+0} ∑_{𝔭∈M(C)} \frac{1}{(N(𝔭))^{s}} / log (\frac{1}{s − 1})

は\frac{|C|}{|G|}に等しい．

Remark. 古典的な密度定理の例には上記以外にも Weyl の modulo 1 の一様分布定理などがある．また虚数乗法を持たない楕円曲線に対する Sato-Tate 予想もそのように定式化されている．

ランク 1 の負曲率局所リ−マン対称空間の閉測地線の一様分布性に関して，素数定理， Chebotarev の密度定理の類似と言える結果が次の定理 2，定理 3 を含めてこれまで多く得られている．

G をランク 1 の半単純リ−群， K を G の極大コンパクト部分群， Γ を G の torsion free で covolume finite な離散部分群， X = Γ\G/K とする．

E(x) = {C : closed geodesic | l(C) ≤ x}
E_{p}(x) = {C : primitive closed geodesic | l(C) ≤ x}

とする．ただし， l(C) は C の長さとする．次の定理 2(素閉測地線定理) は素数定理の類似といえる．

1研究集会「表現論とその周辺」（１９９６年１１月５日–１１月８日) 講演ノート定理 2. 素測地線定理 (Gangolli-Warner, Nagoya J. 78, 1980). ある h = h(X) > 0 が存在して次が成り立つ．

|E(x)| ∼ |E_{p}(x)| ∼ \frac{e^{hx}}{hx} as x → ∞.

さらに， G = KAN を岩沢分解， 𝔞 を A のリ−環， M を 𝔞 の K における centralizer とする． γ ∈ G を hyperbolic element とすると γ は m_{γ}a_{γ} ∈ MA と G-conjugate である．ここで a_{γ} は γ が定める閉測地線 C_{γ} の長さ l(C_{γ}) を定め， m_{γ} は restricted holonomy (conjugacy class) を定める．いま X の閉測地線 C が定める hyperbolic conjugacy class の restricted holonomy を F_{C} と記すことにする． (つまり C = C_{γ} とすると F_{C} = m_{γ} である． ) 次の定理 3 は閉測地線の restricted holonomy の一様分布性を表す Chebotarev の密度定理の類似と言える．

定理 3. Parry-Pollicot の一様分布定理 (Erg. Th. and Dyn. Sys. 113, 1986).

G/K を実双曲空間とする． Ω を M の conjugate invariant set でν(∂Ω) = 0 となるものとする．このとき，次が成り立つ．

lim_{x→∞} \frac{|\{C ∈ E(x) | F_{c} ∈ Ω\}|}{|E(x)|} = \frac{ν(Ω)}{ν(M)}.

ただし， ν は M の Haar measure で， ν(Ω) は ν に関する体積を表す．

2. Main Theorems.

次の定理 4 は X 上の調和解析 (跡公式) を用いて示される．つまり，以下の定理 5 にあるような σ ∈ M̂ に associate した Selberg 跡公式を準備する．定理 4 は定理 5 においてテスト関数 g を工夫して取ることなどにより比較的容易に示される．実際に，跡公式が，算術級数定理の証明における L-関数の役割を果たす．

定理 4. Equidistribution Theorem (Sarnak-若山, 1996).

f を M 上のスムーズな類関数とする．このとき次が成り立つ．

\frac{1}{|E(x)|} ∑_{c∈E(x)} f(F_{c}) = \frac{1}{ν(M)} ∫_{M} f(m)dν(m) + O_{f,Γ}(log |E(x)|^{− \frac{ρ}{n}} |E(x)|^{− \frac{1}{2n}})

ただし， n = dim X であり ρ は制限正ルートの和の半分である．

Remark. (1) この定理は，定理 3 を剰余項の評価付きで示したものといえる．実際，上の定理において， f として Ω の特性関数のうまい近似をとることにより，一般の rank 1 の局所対称空間 Γ\G/K に対しても，定理 3 が Corollary として得られる．

(2) 定理 2 の h は h = 2ρ で与えられる．

定理 5. Trace formula (Sarnak-若山, 1996).

G が離散系列表現をもつとする．任意の σ ∈ M̂ に対して K の virtual 表現 η

η = ∑_{i=1}^{L_{σ}} m_{i}τ_{i} τ_{i} ∈ K̂, m_{i} ∈ ℤ

で η|_{M} = σ となるものをとる．このとき，有限個の値 Λ_{1}, Λ_{2}, ..., Λ_{L_{σ}} があって， g ∈ C_{c}^{∞}(A), g : even に対して次が成り立つ．ただしここで整数 L_{σ} は高々 dim σ の多項式以下で，さらにある G のみに依存する正数 ϵ_{G} が存在して， Λ_{k} 達は Λ_{k} − χ_{σ}(Ω_{M}) ≤ −ϵ_{G} (k = 1, 2,…, L_{σ}) を満足する．

∑_{π_{σ,ν_{j}}:unitary principal series or complementary series} m_{Γ}(π_{σ,ν_{j}})ĝ(ν_{j})

+ ∑_{k=1}^{L_{σ}}{ ∑_{ω:discrete series χ_{ω}(Ω)=Λ_{k}} α_{Γ}(ω)[ω|_{K} : η]

+ ∑_{π:Langlands quotient χ_{π}(Ω)=Λ_{k}} m_{Γ}(π)[π|_{K} : η]\}ĝ((−Λ_{k} + χ_{σ}(Ω_{M}) − ρ^{2})^{\frac{1}{2}} )

− \frac{1}{4π} dim(σ) ∫_{−∞}^{∞} ĝ(ν)Ψ_{Γ,σ}(iν)^{−1}ΨΓ,σ^{′}(iν)dν + \frac{1}{4} dim(σ)ĝ(0)trC_{Γ,σ}(0)

= vol(Γ\G) ∫_{−∞}^{∞} ĝ(ν)μ_{σ}(ν)dν + U_{Γ}(ω_{σ}^{η}(g))

+ \frac{1}{2} ∑_{γ:hyperbolic conjugacy class} l(C_{γ})j(γ)^{−1}D(γ)^{−1}\overline{tr σ(m_{γ})}g(l(C_{γ}))

ここで, Ω, Ω_{M} は G, M の Casimir 元, χ_{∗} は表現 ∗ の infinitesimal character, m_{Γ}(π) = dim Hom_{G}(π, L^{2}(Γ\G)), C_{Γ,σ}(ν) は σ に付随した Eisenstein series の定数項行列, Ψ_{Γ,σ}(ν) = det C_{Γ,σ}(ν), μ_{σ}(ν)dν は Planchrel measure, U_{Γ}(∗) は ∗ の unipotent orbital integral の和, D(γ) は Weyl discriminant, C_{γ} は γが定める閉測地線, j(γ) は C_{γ} が primitive な閉測地線を j(γ) 周していることで定まる整数である．

α_{Γ}(ω) = m_{Γ}(ω) − vol(Γ\G)dω − \frac{1}{|α_{1}|}\{c_{2}(Γ)k_{2}(ω) + c1^{′}(Γ)k1^{′}(ω)\}dω.

ただし， dω は離散系列 ω の formal degree で c_{2}(Γ), k_{2}(ω), c1^{′}(Γ), k1^{′}(Γ) はある explicit に決まる値である．

ω_{σ}^{τ}(g)(x) = ∫_{−∞}^{∞} tr(E_{τ} π_{σ,ν}(x^{−1})E_{τ})g(ν)dν (x ∈ G, τ ∈ K̂),

ω_{σ}^{η} = ∑_{i=1}^{L_{σ}} m_{i}ω_{σ}^{τ_{i}}. ただし， E_{τ} は τ 成分への射影とする．

Remark. G が離散系列を持たないとき (⇔ rank G ≠ rank K) も，同様な跡公式が成立し，したがって，主定理が得られる．